函数图像变换中的规律总结 | 图象系列
函数图像变换中的规律总结
前言
- 在高中的教学中，经常会用到函数图像。而作函数图像的角度有三个：描点法[1]；变换法；同解变形法利用方程的同解变形法，如\(y\)\(=\)\(\sqrt{1-x^2}\)，主要涉及隐函数的图像的做法。\(\quad\)；其中使用最多的是变换法作图的方法和思路。函数图像的变化是一个很重要的内容。学生普遍感觉难，其实掌握了变换的实质[坐标的替换]，都可以轻松搞定，而且能用函数的变换延申到非函数比如曲线的变换。
变换原理
- 其实质就是坐标的替换，用下面的例子体会一下：
分析：由\(\phi:\begin{cases}x'=3x\\y'=2y\end{cases}\)得到\(\phi':\begin{cases}x=\cfrac{x'}{3}\\y=\cfrac{y'}{2}\end{cases}\)，
代入圆\(C:x^2+y^2=4\)得到\((\cfrac{x'}{3})^2+(\cfrac{y'}{2})^2=4\)，即\(\cfrac{x'^2}{9}+\cfrac{y'^2}{4}=4\)，
即变换后所得的曲线\(C'\)是\(\cfrac{x^2}{36}+\cfrac{y^2}{16}=1\)。
解后反思：此变换实际上就是伸缩变换。
分析：由变换\(\phi:\begin{cases}x'=x+3\\y'=y\end{cases}\)得到变换\(\phi':\begin{cases}x=x'-3\\y=y'\end{cases}\)，
代入函数\(y=x^2\)得到\(y'=(x'-3)^2\)，即变换后的函数为\(y=(x-3)^2\)。
解后反思：此变换实际上就是左右平移变换。
分析：涉及的变换为\(\phi:\begin{cases}x'=4x\\y'=2y\end{cases}\)，变形得到变换\(\phi':\begin{cases}x=\cfrac{x'}{4}\\y=\cfrac{y'}{2}\end{cases}\)，
代入函数\(y=2sin(3x+\cfrac{\pi}{3})\)得到函数\(\cfrac{y'}{2}=2sin(3(\cfrac{x'}{4})+\cfrac{\pi}{3})\)，
即函数\(y=4sin(\cfrac{3x}{4}+\cfrac{\pi}{3})\)。
解后反思：此变换实际上就是周期变换和振幅变换的综合。
案例解析
最具有代表性的函数解析式模型 [\(y=A\sin(\omega\cdot x+\phi)+k\)]
- 左右平移，其实质是用\(x+\phi\Rightarrow x\) [只替换单独的自变量\(x\)，保留\(x\)前面原有的系数]
口诀：左加右减[由平移得解析式]或加左减右[由解析式确定平移方向]
【引例】如 \(y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1\)向右平移一个单位，得到 \(y=2\sin[3(\color{Red}{x-1})+\cfrac{\pi}{4}]+1\)
【引例】反之，由 \(y=2\sin[3(\color{Red}{x-1})+\cfrac{\pi}{4}]+1\) 变换得到\(y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1\) ，
由于是用\(x+1\)替换的\(x\)，所以应该向左平移一个单位。
- 上下平移，其实质是用\(y+k\Rightarrow y\)[只替换单独的因变量\(y\)，保留\(y\)前面原有的系数]
口诀：上减下加[由平移得解析式]或减上加下[由解析式确定平移方向]
【引例】\(y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1\)向上平移一个单位，是用\(y-1\Rightarrow y\) ，
整理得到\(\color{Red}{y-1}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1\) ，即\(y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+2\)
疑问，为什么关于\(y\)的变换和关于\(x\)的变换实质是一样的呢？
我们用图像作以解释，当把坐标系绕直线\(y=x\)旋转\(180^{\circ}\)，\(y\)轴就成了\(x\)轴，即\(y\)和\(x\)轴一样，没有啥特殊之处，故变换的实质一样。
- 横向伸缩[类似周期变换]，其实质是用 \(\omega_1 x\Rightarrow x\)[是用新的\(\omega_1 x\)替换单独的自变量\(x\)，原来的系数\(\omega\)依然代入运算]
这样的变换推广后，也适用类周期函数
口诀：\(0<\omega_1<1\) 时，伸长到原来的\(\cfrac{1}{\omega_1}\) 倍；\(\omega_1>1\) 时，缩短到原来的\(\cfrac{1}{\omega_1}\)倍。
【引例】如\(y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})+1\)，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，即\(\omega_1=\cfrac{1}{2}\)，
所以得到的解析式为\(y=2\sin[3(\color{Red}{\cfrac{1}{2}x})+\cfrac{\pi}{4}]+1\)，课件演示
- 纵向伸缩[类似振幅变换]，其实质是用\(\cfrac{y}{A_1}\Rightarrow y\) [单独的因变量\(y\)]
口诀：\(0<A_1<1\) 时，缩短到原来的\(A_1\) 倍；\(A_1>1\) 时，伸长到原来的\(A_1\) 倍。
【引例】如\(y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1\)，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，\(A_1=2\)，
所以用\(\cfrac{y}{2}\rightarrow y\) 得到\(\color{Red}{\cfrac{y}{2}}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+1\)，整理得到\(y=4\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})+2\)
- 对称变换[关于谁对称，谁不变]
关于\(y\)轴对称，其实质是用\(-x\Rightarrow x\)；
【引例】如\(y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})\) 关于y轴对称得到解析式 \(y=2\sin[3(\color{Red}{-x})+\cfrac{\pi}{4}]\)
关于\(x\)轴对称，其实质是用\(-y\Rightarrow y\)；
【引例】如\(\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\) 关于x轴对称得到解析式 即 \(\color{Red}{-y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\)
关于直线\(x=1\)对称，其实质是用\(2-x\Rightarrow x\)；
【引例】如\(y=2\sin(3\color{Red}{x}+\cfrac{\pi}{4})\) 关于直线x=1对称得到解析式\(y=2\sin[3(\color{Red}{2-x})+\cfrac{\pi}{4}]\)
关于直线\(y=1\)轴对称，其实质是用\(2-y\Rightarrow y\)；
【引例】如如\(\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\)关于直线y=1对称得到解析式 \(\color{Red}{2-y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\)
关于直线\(y=x\)对称，\(x\rightarrow y\)， \(y\Rightarrow x\)；
【引例】如\(\color{Red}{y}=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\) 关于直线\(y=x\)对称得到解析式\(\color{Red}{x}=2\sin(3y+\cfrac{\pi}{4})\)
关于原点\((0，0)\)对称，$-x\Rightarrow x；-y\Rightarrow y $；
【引例】如\(y=2\sin(3x+\cfrac{\pi}{4})\)关于原点\((0，0)\)对称得到解析式 \(\color{Red}{-y}=2\sin[3(\color{Red}{-x})+\cfrac{\pi}{4}]\).
曲线对称
以\((x-2)^2+(y+1)^2=1\)为例子，可以利用数学软件\(Desmos\)，自行验证，以加深理解。
关于\(y\)轴对称，得到\((-x-2)^2+(y+1)^2=1\) ；
关于\(x\)轴对称，得到\((x-2)^2+(-y+1)^2=1\) ；
关于直线\(x=1\)对称，得到\((2-x-2)^2+(y+1)^2=1\)；
关于直线\(y=1\)对称，得到\((x-2)^2+(2-y+1)^2=1\)；
关于直线\(y=x\)对称，得到\((y-2)^2+(x+1)^2=1\)；
关于原点\((0，0)\)对称，得到\((-x-2)^2+(-y+1)^2=1\)；
典例剖析
【分析】：如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称，则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0，y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0，-y_0)\)，必然在函数\(g(x)\)的图像上。
解答：先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)，
\(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)，
\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)
在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0，y_0)\)，
则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0，-y_0)\)，
将点\(P(x_0，y_0)\)代入函数\(f(x)\)，得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)
则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)，即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)，
即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上，
也即点\(P'(-x_0，-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上，
又由点\(P(x_0，y_0)\)的任意性可知，
函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称，
故为真命题。辅助图像
分析：由于左右平移的实质是用\(x+\phi\)替换\(x\)，故将函数\(y=cos2x\)替换后得到\(y=cos(2x+2\phi)\)，
由于\(y=cos(2x+2\phi)\)和\(y=cos(2x-\cfrac{\pi}{6})\)完全相同，故\(2\phi=-\cfrac{\pi}{6}\)，解得\(\phi=-\cfrac{\pi}{12}\)，
即其实我们是用\(x-\cfrac{\pi}{12}\)替换\(x\)，故向右平移\(\cfrac{\pi}{12}\)个单位，故选\(C\).
分析：本题目要求将源函数\(y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})\)，变换得到目标函数\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，为此，我们需要先将二者的函数名称做统一；
法1：源函数\(y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(\cfrac{\pi}{2}-2x+\cfrac{\pi}{3})=sin(-2x+\cfrac{5\pi}{6})\)，这种变换要得到目标函数\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，不仅仅是左右平移；故需要调整使用的公式；
源函数\(y=cos(2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(\cfrac{\pi}{2}+2x-\cfrac{\pi}{3})=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})\)，用替换法，由\(2(x+\phi)+\cfrac{\pi}{6}=2x+\cfrac{\pi}{3}\)，得到\(\phi=\cfrac{\pi}{12}\)，即使用\(x+\cfrac{\pi}{12}\)替换单独的自变量\(x\)后得到目标函数，故需要\(向左平移\cfrac{\pi}{12}\)，则选\(A\)；
法2：将目标函数\(y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)变换为余弦函数，略；
分析：函数\(y=f(2x-1)\)图像到函数\(y=f(2x+1)\)的图像的变换只涉及左右平移变换，
而左右平移变换的本质即用\(x+\phi\)替换单独的自变量\(x\)整理得到的，
故用\(x+\phi\)替换\(y=f(2x-1)\)中的单独的自变量\(x\)，整理得到\(f[2(x+\phi)-1]=f(2x+1)\)，
由\(2(x+\phi)-1=2x+1\)解得\(\phi=1\)，即上述替换是用\(x+1\)替换\(x\)得到的，
故由左加右减的口诀得到，应该将函数\(y=f(2x-1)\)向左平移\(1\)个单位，得到函数\(y=f(2x+1)\)，
而\(y=f(2x-1)\)的对称轴是\(x=0\)[\(y\)轴]，故函数\(y=f(2x+1)\)的对称轴为\(x=-1\)。故选\(A\)。
描点法可以作所有函数的图象。作一次函数的图象，我们只用两点法，因为两点确定一条直线；而作二次函数的图象，我们常用五点法(图象和\(x\)轴的两个交点，与\(y\)轴的交点以及该点关于对称轴的对称点，最高点或最低点共五个点)，或三点法(有些二次函数与 \(x\) 轴没有交点，故五点法变为三点法)，作三角函数图象时常用五点法或变换作图(其中这个五点法仅仅适用正弦型或余弦型函数图象，而变换作图适用所有函数的图象)； ↩︎
